Aproximación Informal a los Limites 

El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que llega un periodo temporal.

Una definición informal del límite matemático indica que el limite de una función f(x) es T cuando x tiende a s, siempre que se puede hallar para cada ocasión un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan cercano a T como se pretenda. Además del límite citado, no podemos obviar que existen otros muy importantes en el ámbito de las Matemáticas. Así, también se puede hablar del límite de una sucesión que puede ser existente o único y divergente, en el caso de que los términos de aquella no converjan en ningún punto.



En las siguientes gráficas, se puede observar que para calcular limx→cf(x), es decir, el limite de una función f(x), cuando x tiende al valor c, no es necesario que la función esté o no definida en c, lo que interesa es que festé definida en las cercanías de c.


Ejemplo 1. La función f está definida para "todos" los valores alrededor de un número "c", incluso en el punto c mismo.


Aunque no es necesario que la función esté definida incluso en c mismo, se observa que cuando x→c, entonces, f(x)→L, es decir, cuando "x tiende a c", entonces "f(x) se aproxima al número L".
En este caso, se dice que el límite exite y se escribe como: limx→cf(x)=L 

Ejemplo 2. En este ejemplo, la función f no está definida para x=c.

Aunque f(c)≠L, se tiene que f(x)→L, para los valores de x cercanos a c.
Al igual que el caso anterior, el límite existe y se puede escribir: limx→cf(x)=L

Ejemplo 3. En este caso, cuando "x tiende a c" por la derecha, la función "tiende a S", mientras que;cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función "tiende a R".
Esto es, cuando x→c+, entonces f(x)→S, pero cuando x→c−, entonces f(x)→R.


En este caso, la función no tiende a un mismo valor cuando x se acerca a c, en consecuencia limx→cf(x), no existe.

Ejemplo 4. En este ejemplo, cuando "x tiende a c" por la derecha la función toma valores positivos cada vez mayores, mientras que cuando "x tiende a c" por la izquierda, la función toma valores positivos cada vez menores.
Esto es, cuando x→c+, entonces f(x)→+∞, pero cuando x→c−, entonces f(x)→−∞.

De lo anterior se deduce que la función no tiende a ningun número real fijo, cuando se acerca a c, en consecuencia limx→cf(x), no existe.

Modelo algebraico general de una función racional. 

Una función racional está definida como el cociente de polinomios en los cuales el denominador tiene un grado de por lo menos 1. En otras palabras, debe haber una variable en el denominador.
La forma general de una función racional es , donde p ( x ) y q ( x ) son polinomios y q ( x ) ≠ 0.

Ejemplos:

La función padre de una función racional es y la gráfica es una hipérbola . 






El dominio y rango es el conjunto de todos los números reales excepto 0.

Valor excluído  
En una función racional, un valor excluído es cualquier valor de x que hace al valor de la función y no definido. Así, estos valores deben ser excluídos del dominio de la función.
Por ejemplo, el valor excluído de la función es –3. Esto es, cuando x = –3, el valor de y no esta definido.
Así, el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales excepto –3.
Asíntotas
Una asíntota es una recta que se acerca a la gráfica de la función, pero nunca la toca. En la función padre , tanto los ejes x y y son asíntotas. La gráfica de la función padre se acercará más y más pero nunca tocará las asíntotas.
Una función racional de la forma tiene una asíntota vertical en el valor excluído, o x = b , y una asíntota horizontal en y = c . 

En este artículo te voy a explicar brevemente lo que son las funciones racionales y te mostraré unas funciones racionales ejemplos para que las entiendas mejor.

Una función es racional si: en donde g(x) y h(x) son polinomios. El dominio de la función serán todos los números reales con excepción los números en los cuales se hace cero el denominador.
Por ejemplo en una función f (x ) = 1 / x – 2, el dominio es toda x excepto x =2.

Cuando se hace la gráfica de una función racional es importante saber:

• Qué se puede decir de los valores de la función cuando x se acerca a un cero del denominador?
• Qué se puede decir de los valores de la función cuando x es grande y positiva o negativa?

Asíntota vertical
La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función si f (x) –> ∞ o f (x) –> -∞ cuando x tiende a a.
Asíntota horizontal
La recta y = c es una asíntota horizontal de la gráfica de una función si f (x) –> c cuando x –> ∞ o cuando x  –> -∞


Video:

 https://www.youtube.com/watch?v=1OOrMK1w2Dk

FUNCIÓN RACIONAL

* ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

 es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

 es la asíntota oblicua.

Tratamiento visual de máximos y mínimos

                            Tratamiento visual de máximos y mínimos

Los máximos y mínimos son los extremos relativos o locales de una función.

Extremos relativos o locales

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos o locales

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos relativos o locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo

f(x) = x³ − 3x + 2

f'(x) = 3x² − 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Ejemplo

Hallar los máximos y mínimos de:

Tenemos un mínimo en x = 3

Mínimo(3, 27/4)

Modelo Grafico

                                Funciones de grado Superior

                                         Modelo Gráfico

El modelo gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal, muy limitado en cuanto al número de variables, pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).

1.-Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones
2.- Se construye para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas la tabla de valores correspondientes
3.- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados


Ejemplo

Lo primero que hacemos es despejar la $y$ en ambas ecuaciones.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizaremos $x=0$ y $x=2$.

Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla

Ahora representamos los puntos de cada tabla uniéndolos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:

FUNCIONES DE GRADO SUPERIOR


 *RAICES: TEOREMA DEL RESIDUO, DEL FACTOR Y DIVISIÓN SINTETICA

Teorema del residuo 

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). 

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. 

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio. 
El Teorema del Residuo (en álgebra) se emplea para conocer el resíduo que se obtiene al dividir un polinomio por un binomio de la forma x-a (siendo "a" un valor numérico conocido) sin necesidad de efectuar la división.

Para ello basta sustituir el valor de a en el polinomio haciendo x=a

Ejemplo:

x³ + 2x² - 3x + 5 entre x - 2

En este caso, a=2 y por lo tanto sustituimos "a" en el polinomio:

(2)³ + 2(2)² - 3(2) + 5 = 8 + 8 - 6 + 5 = 15

El residuo es entonces 15.

Teorema del factor 

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. 

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1.-(x³ − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2.-(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3.-(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4.-(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor. 

DIVISIÓN SINTÉTICA

La división sintética se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma $x-c$ y su aplicación principal es para determinar los ceros de un polinomio $.$  Considere un polinomio de grado $n$ de la forma:

$P(x)=$ an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+ a2 x2 + a1 x+ a0

EJEMPLO

1. Dividir $8$ x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6 por $x+1$

Solución

Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de $c=-1.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$
	$8$

Paso 3 Multiplique $-1$ por el coeficiente principal $8.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$
	$8$		$\hspace{0.5em}$

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$
	$8$		$-5$

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante $-6.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$-2$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$4$		$-6$
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$	$\nearrow$	$5$	$\nearrow$	$-3$	$\nearrow$	$3$	$\nearrow$	$-7$
	$8$		$-5$		$3$		$-3$		$7$		$-13$

Paso 6 Escriba el cociente y resto

Cociente: $q(x)=8$ x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7

Residuo: $r=-13$

Por el algoritmo de la división se tiene:

$P(x)=8$ x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6=(8 x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7)(x+1)-13

2. Dividir $2$ x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18 por $x-3$

Solución

Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de $c=3.$

$3$	$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -9		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}18$

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$3$

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 2

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -9

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18

$\downarrow$

$2$

Paso 3 Multiplique $3$ por el coeficiente principal $2.$

$3$	$2$		$-9$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$
	$2$		$\hspace{0.5em}$

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.

$3$	$2$		$-9$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$
	$2$		$-3$

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante $18.$

$3$	$2$		$-9$		$11$		$-6$		$-6$		$18$
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$	$\nearrow$	$-9$	$\nearrow$	$6$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$-18$
	$2$		$-3$		$2$		$0$		$-6$		$0$

Paso 6 Escriba el cociente y resto

Cociente: $q(x)=2$ x4 -3 x3 +2 x2 -6

Residuo: $r=0$

Por el algoritmo de la división se tiene:

$P(x)=2$ x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18=(2 x4 -3 x3 +2 x2 -6)(x-3)

En este caso como el residuo es 0, entonces $c=3$ es un cero del polinomio y $x-3$ es un factor.