FUNCIONES DE GRADO SUPERIOR


 *RAICES: TEOREMA DEL RESIDUO, DEL FACTOR Y DIVISIÓN SINTETICA

Teorema del residuo 

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). 

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. 

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio. 
El Teorema del Residuo (en álgebra) se emplea para conocer el resíduo que se obtiene al dividir un polinomio por un binomio de la forma x-a (siendo "a" un valor numérico conocido) sin necesidad de efectuar la división.

Para ello basta sustituir el valor de a en el polinomio haciendo x=a

Ejemplo:

x³ + 2x² - 3x + 5 entre x - 2

En este caso, a=2 y por lo tanto sustituimos "a" en el polinomio:

(2)³ + 2(2)² - 3(2) + 5 = 8 + 8 - 6 + 5 = 15

El residuo es entonces 15.

Teorema del factor 

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. 

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1.-(x³ − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2.-(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3.-(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x⁴ − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1 ) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1⁴ − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4.-(x¹⁰ − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x¹⁰ − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = − 2) = 0.

P(−2) = (−2)¹⁰ − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor. 

DIVISIÓN SINTÉTICA

La división sintética se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma $x-c$ y su aplicación principal es para determinar los ceros de un polinomio $.$  Considere un polinomio de grado $n$ de la forma:

$P(x)=$ an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+ a2 x2 + a1 x+ a0

EJEMPLO

1. Dividir $8$ x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6 por $x+1$

Solución

Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de $c=-1.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$
	$8$

Paso 3 Multiplique $-1$ por el coeficiente principal $8.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$
	$8$		$\hspace{0.5em}$

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 4		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$
	$8$		$-5$

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante $-6.$

$-1$	$8$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 3		$-2$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 0		$4$		$-6$
	$\downarrow$	$\nearrow$	$-8$	$\nearrow$	$5$	$\nearrow$	$-3$	$\nearrow$	$3$	$\nearrow$	$-7$
	$8$		$-5$		$3$		$-3$		$7$		$-13$

Paso 6 Escriba el cociente y resto

Cociente: $q(x)=8$ x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7

Residuo: $r=-13$

Por el algoritmo de la división se tiene:

$P(x)=8$ x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6=(8 x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7)(x+1)-13

2. Dividir $2$ x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18 por $x-3$

Solución

Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de $c=3.$

$3$	$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 2		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -9		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}18$

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

$3$

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 2

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -9

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6

$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18

$\downarrow$

$2$

Paso 3 Multiplique $3$ por el coeficiente principal $2.$

$3$	$2$		$-9$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$
	$2$		$\hspace{0.5em}$

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna.

$3$	$2$		$-9$		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 11		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ -6		$\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}$ 18
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$
	$2$		$-3$

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante $18.$

$3$	$2$		$-9$		$11$		$-6$		$-6$		$18$
	$\downarrow$	$\nearrow$	$6$	$\nearrow$	$-9$	$\nearrow$	$6$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$-18$
	$2$		$-3$		$2$		$0$		$-6$		$0$

Paso 6 Escriba el cociente y resto

Cociente: $q(x)=2$ x4 -3 x3 +2 x2 -6

Residuo: $r=0$

Por el algoritmo de la división se tiene:

$P(x)=2$ x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18=(2 x4 -3 x3 +2 x2 -6)(x-3)

En este caso como el residuo es 0, entonces $c=3$ es un cero del polinomio y $x-3$ es un factor.